test111

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### **************************** `fib(n)`。******，**********：

1. ********：**************。**，** `fib(5)` *，`fib(3)` * `fib(2)` ******，******。

2. *************：******** `n <= 2` ***，***** `n < 0` ***。******，***********。

3. **********：***** `n`，********* Python *********，** `RecursionError`。

### *******. *******（Memoization）**：*****************，******，****。

2. **********：*** `n < 0` ***，**************。

3. ************：******，**************。*****************，********。

### ********#### ***：*******```python

def fib(n, memo={}):

if n < 0:

raise ValueError("Input must be a non-negative integer")

if n <= 2:

return 1

if n in memo:

return memo[n]

memo[n] = fib(n-1, memo) + fib(n-2, memo)

return memo[n]

```

#### ***：*****```python

def fib(n):

if n < 0:

raise ValueError("Input must be a non-negative integer")

if n <= 2:

return 1

a, b = 1, 1

for _ in range(3, n+1):

a, b = b, a + b

return b

```

### *****. *********：

- ****** `memo` ****************。

- ********，*** `memo` ********，********，******。

- *** `n < 0` ***，** `ValueError`。

2. *******：

- ****** `a` * `b` *************。

- ***** `3` * `n` *********，*******，*****。

- ***** `n < 0` ***，** `ValueError`。

*************，***********。******************，******************。